Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению реки равна $26 + x$ км/ч, а скорость теплохода против течения реки равна $26 - x$ км/ч. По условию задачи скорость течения положительна и меньше собственной скорости теплохода, то есть $0 < x < 26$.

1) Найдём время, которое теплоход находился непосредственно в движении. Из общего времени (18 часов) вычтем время стоянки (5 часов):
$18 - 5 = 13$ (часов).

2) Составим уравнение, основываясь на том, что общее время движения складывается из времени пути по течению и времени пути против течения. Расстояние в каждую сторону составляет 165 км.
Время по течению: $\frac{165}{26 + x}$
Время против течения: $\frac{165}{26 - x}$
Уравнение:
$\frac{165}{26 + x} + \frac{165}{26 - x} = 13$

3) Решим полученное уравнение. Приведём дроби к общему знаменателю $(26 + x)(26 - x)$:
$\frac{165(26 - x) + 165(26 + x)}{(26 + x)(26 - x)} = 13$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{4290 - 165x + 4290 + 165x}{676 - x^2} = 13$
$\frac{8580}{676 - x^2} = 13$

4) Разделим обе части уравнения на 13 для упрощения вычислений:
$\frac{660}{676 - x^2} = 1$
Отсюда следует:
$676 - x^2 = 660$
$x^2 = 676 - 660$
$x^2 = 16$

5) Уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Так как скорость течения реки не может быть отрицательной, нам подходит только значение $x = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ