Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным.
Важно помнить: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Следовательно, наше неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:

$(x-3)^2 - 5 < 0$

2. Решим полученное неравенство. Для этого разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$:

$(x-3)^2 - (\sqrt{5})^2 < 0$ $(x-3-\sqrt{5})(x-3+\sqrt{5}) < 0$

3. Найдём корни уравнения $(x-3-\sqrt{5})(x-3+\sqrt{5}) = 0$:

$x_1 = 3 + \sqrt{5}$ $x_2 = 3 - \sqrt{5}$

4. Применим метод интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое.
Графиком функции $f(x) = (x-3)^2 - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал:

$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$

Или в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ