Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала упростим выражение функции, раскрыв модуль по определению. Напомним, что $|x| = x$, если $x \ge 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$.

Шаг 1. Раскрытие модуля.
1) Если $x \ge 0$, то функция принимает вид:
$y = x(x - 1) - 3x = x^2 - x - 3x = x^2 - 4x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх.
2) Если $x < 0$, то функция принимает вид:
$y = -x(x - 1) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз.

Шаг 2. Исследование парабол.
Найдем координаты вершин обеих парабол:
1) Для $y = x^2 - 4x$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Вершина в точке $(2; -4)$.
2) Для $y = -x^2 - 2x$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.
$y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1$.
Вершина в точке $(-1; 1)$.

Обе части графика проходят через начало координат $(0; 0)$, так как при $x = 0$ значение $y = 0$.

Шаг 3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта линия пересекает построенный график ровно в двух точках.
Посмотрим на график снизу вверх:
— При $m < -4$ прямая не имеет общих точек с правой частью и имеет одну точку с левой. Итого 1 точка.
— При $m = -4$ прямая проходит через вершину правой параболы. Это дает одну точку (вершина) и еще одну точку на левой ветви. Итого 2 точки.
— При $-4 < m < 0$ прямая пересекает правую параболу в двух точках и левую в одной. Итого 3 точки.
— При $m = 0$ прямая проходит через начало координат. Это дает одну точку в центре и по одной точке на краях. Итого 3 точки (но так как графики стыкуются в нуле, нужно быть внимательным: левая ветвь уходит вниз, правая вверх, в нуле они встречаются — фактически здесь 2 точки пересечения, так как $x=0$ и еще две точки по бокам, итого 3).
— При $0 < m < 1$ прямая пересекает левую параболу в двух точках и правую в одной. Итого 3 точки.
— При $m = 1$ прямая проходит через вершину левой параболы. Это дает одну точку (вершина) и еще одну точку на правой ветви. Итого 2 точки.
— При $m > 1$ прямая пересекает только правую ветвь. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $m = -4$ и $m = 1$.

Ответ: -4; 1.

Источник: ФИПИ