Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} - 9x - 2|x - 4| + 20$ необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x - 4 \ge 0$ (или $x \ge 4$), то $|x - 4| = x - 4$.
Тогда функция принимает вид:
$y = x^{2} - 9x - 2(x - 4) + 20$
$y = x^{2} - 9x - 2x + 8 + 20$
$y = x^{2} - 11x + 28$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{11}{2} = 5,5$
$y_{0} = (5,5)^{2} - 11 \cdot 5,5 + 28 = 30,25 - 60,5 + 28 = -2,25$
Точка стыка при $x = 4$: $y(4) = 4^{2} - 11 \cdot 4 + 28 = 16 - 44 + 28 = 0$.

2) Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x - 4 < 0$ (или $x < 4$), то $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$.
Тогда функция принимает вид:
$y = x^{2} - 9x - 2(4 - x) + 20$
$y = x^{2} - 9x - 8 + 2x + 20$
$y = x^{2} - 7x + 12$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = \frac{7}{2} = 3,5$
$y_{0} = (3,5)^{2} - 7 \cdot 3,5 + 12 = 12,25 - 24,5 + 12 = -0,25$
Точка стыка при $x = 4$: $y(4) = 4^{2} - 7 \cdot 4 + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$.

График представляет собой две состыкованные параболы с общей точкой $(4; 0)$.
Левая часть (при $x < 4$) имеет минимум в точке $(3,5; -0,25)$.
Правая часть (при $x \ge 4$) имеет минимум в точке $(5,5; -2,25)$.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она имеет с графиком ровно три общие точки в следующих случаях:
1) Когда прямая проходит через вершину "верхней" параболы (левой части). Это значение $m = -0,25$. В этом случае одна точка пересечения будет в вершине левой параболы, и ещё две точки — на ветвях правой параболы.
2) Когда прямая проходит через точку стыка парабол. Это значение $m = 0$. В этом случае одна точка пересечения — это точка стыка $(4; 0)$, и ещё две точки — на внешних ветвях парабол.

При $m < -2,25$ точек нет. При $m = -2,25$ — одна точка. При $-2,25 < m < -0,25$ — две точки. При $m = -0,25$ — три точки. При $-0,25 < m < 0$ — четыре точки. При $m = 0$ — три точки. При $m > 0$ — две точки.

Ответ: -0,25; 0

Источник: ФИПИ