Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ литров в минуту — скорость наполнения (производительность) второй трубы. Тогда, согласно условию, первая труба пропускает на 9 литров в минуту меньше, то есть её производительность равна $x - 9$ литров в минуту.

Объём резервуара составляет 112 литров. Время, за которое труба заполняет резервуар, находится по формуле: $t = \frac{V}{v}$, где $V$ — объём, а $v$ — скорость наполнения.

1) Время работы первой трубы: $\frac{112}{x - 9}$ минут.
2) Время работы второй трубы: $\frac{112}{x}$ минут.

По условию задачи вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем первая. Это значит, что разница между временем первой и второй трубы равна 4 минутам. Составим уравнение:
$\frac{112}{x - 9} - \frac{112}{x} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения вычислений:
$\frac{28}{x - 9} - \frac{28}{x} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 9)$:
$\frac{28x - 28(x - 9)}{x(x - 9)} = 1$
$\frac{28x - 28x + 252}{x^2 - 9x} = 1$
$\frac{252}{x^2 - 9x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 9$):
$x^2 - 9x = 252$
$x^2 - 9x - 252 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{9 + 33}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$x_2 = \frac{9 - 33}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как скорость наполнения трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x = -12$ нам не подходит. Значит, производительность второй трубы равна 21 литр в минуту.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ