Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
Точка с абсциссой $x = -2$ будет «выколотой» на графике.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,5x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{0,5x(x + 2) \cdot |x|}{x + 2}$.
При $x \neq -2$ мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:
$y = 0,5x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
б) Если $x < 0$ (и $x \neq -2$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Координаты «выколотой» точки.
Подставим $x = -2$ в упрощенное выражение для отрицательных $x$:
$y(-2) = -0,5 \cdot (-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$.
Значит, точка с координатами $(-2; -2)$ отсутствует на графике.

5. Построение графика.
График состоит из части параболы $y = 0,5x^2$ при $x \geq 0$ и части параболы $y = -0,5x^2$ при $x < 0$, за исключением точки $(-2; -2)$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

6. Исследование количества решений.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая не пересекает график.
График функции $y = 0,5x \cdot |x|$ (с учетом выколотой точки) принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, кроме значения в «выколотой» точке.
Единственный случай, когда прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком — это когда она проходит ровно через «выколотую» точку $(-2; -2)$.
Следовательно, $m = -2$.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ