Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция кусочно-заданная. Построим её график по частям.

1. Часть $y = x + 2$ при $x < 1$.
Это луч. При $x = 0$ имеем $y = 2$; при $x = -2$ имеем $y = 0$. При $x = 1$ получилось бы $y = 3$, но неравенство строгое, поэтому точка $(1; 3)$ «выколотая». Луч идёт из выколотой точки $(1; 3)$ влево-вниз, принимая все значения $y < 3$.

2. Часть $y = x^{2} - 6x + 10$ при $x \geq 1$.
Это часть параболы, ветви направлены вверх. Вершина: $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$, $y_0 = 9 - 18 + 10 = 1$, то есть $(3; 1)$.
На границе $y(1) = 1 - 6 + 10 = 5$; точка $(1; 5)$ принадлежит графику. Часть параболы идёт от $(1; 5)$ вниз к вершине $(3; 1)$, затем вверх к $+\infty$. Наименьшее значение параболы равно $1 > 0$, поэтому с осью $Ox$ она не пересекается.

В точке стыка $x = 1$ график имеет разрыв: правая часть даёт $y = 5$ (закрашенная), а луч приближается к $y = 3$ (выколотая).

3. Число общих точек с прямой $y = m$ (снизу вверх):
— при $m < 1$: только луч — 1 точка;
— при $m = 1$: вершина параболы (1 точка) и луч (1 точка, так как $m < 3$) — 2 точки;
— при $1 < m < 3$: две ветви параболы и луч — 3 точки;
— при $m = 3$: две ветви параболы, а луч проходит через выколотую точку $(1; 3)$, пересечения там нет — 2 точки;
— при $3 < m < 5$: две ветви параболы, луч уже не задет ($m \geq 3$) — 2 точки;
— при $m = 5$: парабола в точках $x = 1$ и $x = 5$, луч не задет — 2 точки;
— при $m > 5$: только правая ветвь параболы — 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки получаются при $m = 1$ и при $3 \leq m \leq 5$.

Ответ: $m = 1$; $3 \leq m \leq 5$.