Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Это значит, что на графике будет «выколотая» точка с абсциссой $-1$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,75x$ в числителе:
$y = \frac{0,75x(x + 1) \cdot |x|}{x + 1}$.
При условии $x \neq -1$ мы можем сократить дробь на $(x + 1)$:
$y = 0,75x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
— Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$ (и $x \neq -1$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Координаты «выколотой» точки.
Подставим $x = -1$ в упрощенное выражение для отрицательных $x$:
$y(-1) = -0,75 \cdot (-1)^2 = -0,75 \cdot 1 = -0,75$.
Таким образом, точка с координатами $(-1; -0,75)$ будет отсутствовать на графике.

5. Построение графика.
График состоит из двух частей парабол:
— Справа от оси $Oy$ (включая начало координат) — часть параболы $y = 0,75x^2$.
— Слева от оси $Oy$ — часть параболы $y = -0,75x^2$ с «дыркой» в точке $(-1; -0,75)$.

6. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком в двух случаях:
— Если прямая проходит через «выколотую» точку. Это происходит при $m = -0,75$.
— Если график функции вообще не принимает значения $m$. Однако, ветви полученных парабол уходят в бесконечность вверх и вниз, покрывая все значения $y$, кроме значения в «выколотой» точке.

Таким образом, единственное значение $m$, при котором нет общих точек, — это ордината «выколотой» точки.

Ответ: -0,75

Источник: ФИПИ