Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение. Для построения графика функции $y = x^{2} - 5x - 5|x - 2| + 6$ необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x - 2 \ge 0$ (или $x \ge 2$), то $|x - 2| = x - 2$.
Тогда функция принимает вид:
$y = x^{2} - 5x - 5(x - 2) + 6$
$y = x^{2} - 5x - 5x + 10 + 6$
$y = x^{2} - 10x + 16$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$
$y_{0} = 5^{2} - 10 \cdot 5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9$
Вершина параболы — точка $(5; -9)$. При $x = 2$ значение функции $y = 2^{2} - 10 \cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0$.

2) Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x - 2 < 0$ (или $x < 2$), то $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.
Тогда функция принимает вид:
$y = x^{2} - 5x - 5(2 - x) + 6$
$y = x^{2} - 5x - 10 + 5x + 6$
$y = x^{2} - 4$
Графиком является часть параболы с вершиной в точке $(0; -4)$, ветви направлены вверх. При $x = 2$ значение функции $y = 2^{2} - 4 = 0$.

Общий график состоит из двух «склеенных» частей парабол в точке $(2; 0)$.
Левее $x = 2$ график идет по параболе $y = x^{2} - 4$, правее — по параболе $y = x^{2} - 10x + 16$.
Заметим, что обе части имеют общую точку $(2; 0)$, так как при подстановке $x = 2$ в оба уравнения получается $y = 0$.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в трех точках.
Проанализируем количество пересечений при движении прямой снизу вверх:
— При $m < -9$ точек пересечения нет.
— При $m = -9$ прямая проходит через вершину правой параболы — 1 точка.
— При $-9 < m < -4$ прямая пересекает правую параболу в двух точках — 2 точки.
— При $m = -4$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую параболу в двух точках — 3 точки.
— При $-4 < m < 0$ прямая пересекает левую параболу в двух точках и правую в двух точках — 4 точки.
— При $m = 0$ прямая проходит через точку «склейки» $(2; 0)$ и пересекает каждую параболу еще в одной точке — 3 точки.
— При $m > 0$ прямая пересекает левую ветвь первой параболы и правую ветвь второй параболы — 2 точки.

Таким образом, ровно три общие точки график и прямая имеют при $m = -4$ и $m = 0$.

Ответ: -4; 0

Источник: ФИПИ