Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Раскроем модуль в функции $y = |x|(x + 3) - 5x$.

1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$:
$y = x(x + 3) - 5x = x^2 - 2x$.
Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина: $x_0 = 1$, $y_0 = 1 - 2 = -1$, то есть $(1; -1)$. Нули: $x = 0$ и $x = 2$ (оба удовлетворяют $x \geq 0$). На этом участке график идёт из точки $(0; 0)$ вниз до вершины $(1; -1)$ и затем вверх в $+\infty$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$:
$y = -x(x + 3) - 5x = -x^2 - 8x$.
Это часть параболы с ветвями вниз. Вершина: $x_0 = -4$, $y_0 = -16 + 32 = 16$, то есть $(-4; 16)$. Нули: $x = 0$ и $x = -8$; условию $x < 0$ удовлетворяет только $x = -8$. На этом участке график поднимается из $-\infty$ (при $x \to -\infty$) до вершины $(-4; 16)$ и опускается к точке стыка $(0; 0)$.

Обе части непрерывно стыкуются в точке $(0; 0)$.

Прямая $y = m$ горизонтальна. Проследим число общих точек снизу вверх:
— при $m < -1$: только левая ветвь второй параболы — 1 точка;
— при $m = -1$: касание вершины $(1; -1)$ правой части плюс левая ветвь второй параболы — 2 точки;
— при $-1 < m < 0$: вершина правой параболы даёт 2 точки $(x_1, x_2 > 0)$ плюс 1 точка на второй параболе — 3 точки;
— при $m = 0$: на правой части $x = 0$ и $x = 2$, на левой $x = -8$ — точки $(-8;0),(0;0),(2;0)$, то есть 3 точки;
— при $0 < m < 16$: правая парабола даёт 1 точку, вторая (нисходящая) — 2 точки — 3 точки;
— при $m = 16$: касание вершины $(-4; 16)$ левой части плюс 1 точка на правой параболе — 2 точки;
— при $m > 16$: только правая ветвь первой параболы — 1 точка.

Ровно две общие точки получаются при $m = -1$ и $m = 16$. Значение $m = 0$ даёт три точки и не подходит.

Ответ: -1; 16