Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,25x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{0,25x(x + 4) \cdot |x|}{x + 4}$.
При $x \neq -4$ мы можем сократить дробь на $(x + 4)$:
$y = 0,25x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
— Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,25x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$ (и $x \neq -4$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,25x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Координаты "выколотой" точки.
Так как $x \neq -4$, на графике будет отсутствовать точка с абсциссой $-4$.
Подставим $x = -4$ в упрощенное выражение для отрицательных $x$:
$y(-4) = -0,25 \cdot (-4)^2 = -0,25 \cdot 16 = -4$.
Значит, точка с координатами $(-4; -4)$ будет выколота.

5. Построение графика.
График состоит из двух частей парабол с общей вершиной в точке $(0; 0)$. При $x > 0$ график идет вверх, при $x < 0$ — вниз, при этом точка $(-4; -4)$ пустая (выколотая).

6. Определение значений $m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком ни одной общей точки в двух случаях:
— Если прямая проходит через "выколотую" точку. Это происходит при $m = -4$.
— Других разрывов или ограничений по оси $y$ у данных ветвей парабол нет, так как область значений функции $y = 0,25x \cdot |x|$ при $x \neq -4$ — это все действительные числа, кроме $y = -4$.

Ответ: -4

Источник: ФИПИ