Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-14}{(x-3)^2 - 2} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-14$. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным, так как «минус на минус дает плюс». При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 2 < 0$

3. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $2 = (\sqrt{2})^2$:
$((x-3) - \sqrt{2})((x-3) + \sqrt{2}) < 0$
$(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2}) < 0$

4. Найдём корни выражения в левой части, приравняв каждую скобку к нулю:
$x - 3 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{2}$
$x - 3 + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{2}$

5. Решим полученное квадратичное неравенство методом интервалов. Отметим точки $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$ на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала. Так как перед $x^2$ стоит положительный коэффициент, ветви параболы направлены вверх, и знаки распределяются так: «плюс», «минус», «плюс».

6. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак «минус»). Это интервал между корнями:
$3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}$

Запишем результат в виде промежутка: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ