Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города В в город А. Именно эту величину нам нужно найти по условию задачи.

Тогда на пути из А в В его скорость была на 5 км/ч меньше (так как на обратном пути он её увеличил), то есть она составляла $x - 5$ км/ч.

Шаг 1. Составим выражения для времени движения.
Расстояние между городами равно 180 км.
1) Время, затраченное на путь из А в В: $t_1 = \frac{180}{x - 5}$ (часов).
2) Время, затраченное непосредственно на движение из В в А: $t_{движ} = \frac{180}{x}$ (часов).
3) Общее время на обратный путь складывается из времени движения и времени остановки: $t_2 = \frac{180}{x} + 3$ (часов).

Шаг 2. Составим уравнение.
По условию задачи время на путь туда и обратно совпадает ($t_1 = t_2$). Получаем уравнение:
$\frac{180}{x - 5} = \frac{180}{x} + 3$

Шаг 3. Решим полученное уравнение.
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему знаменателю $x(x - 5)$:
$\frac{180}{x - 5} - \frac{180}{x} - 3 = 0$
$\frac{180x - 180(x - 5) - 3x(x - 5)}{x(x - 5)} = 0$
Раскроем скобки в числителе:
$180x - 180x + 900 - 3x^2 + 15x = 0$
$-3x^2 + 15x + 900 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-3$, чтобы упростить вычисления:
$x^2 - 5x - 300 = 0$

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения.
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$
Найдём корни:
$x_1 = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Шаг 5. Анализ результатов.
Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость велосипедиста на пути из В в А равна 20 км/ч.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ