Задание №22 — Функции

Решение.

Функция кусочно-заданная: $y = x^2 - 8x + 14$ при $x \geq 3$ и $y = x - 2$ при $x < 3$.

1) Часть параболы $y = x^2 - 8x + 14$, $x \geq 3$, ветви вверх. Вершина: $x_0 = 4$, $y_0 = 16 - 32 + 14 = -2$, точка $(4; -2)$. На границе при $x = 3$: $y = 9 - 24 + 14 = -1$, точка $(3; -1)$ закрашенная. Итак, парабола идёт из $(3; -1)$ вниз до вершины $(4; -2)$ и затем вверх в $+\infty$.

2) Луч $y = x - 2$, $x < 3$. При $x = 0$: $y = -2$. При $x \to 3^-$: $y \to 1$, точка $(3; 1)$ выколотая. Луч покрывает все значения $y < 1$ (по одной точке на каждое такое значение).

Прямая $y = m$ горизонтальна. Учтём вклад обеих частей.

Луч: уравнение $x - 2 = m$ даёт $x = m + 2$, что меньше $3$ при $m < 1$. Значит, при $m < 1$ — 1 точка на луче, при $m \geq 1$ — ни одной.

Парабола: $x^2 - 8x + 14 = m$, $x = 4 \pm \sqrt{2 + m}$, $x \geq 3$.
— при $m < -2$: нет точек;
— при $m = -2$: касание вершины — 1 точка;
— при $-2 < m \leq -1$: обе точки $\geq 3$ — 2 точки;
— при $m > -1$: подходит только $x = 4 + \sqrt{2 + m}$ — 1 точка.

Складываем:
— $m < -2$: $1 + 0 = 1$;
— $m = -2$: $1 + 1 = 2$;
— $-2 < m \leq -1$: $1 + 2 = 3$;
— $-1 < m < 1$: $1 + 1 = 2$;
— $m = 1$: $0 + 1 = 1$;
— $m > 1$: $0 + 1 = 1$.

Ровно две общие точки при $m = -2$ и при $-1 < m < 1$.

Ответ: $m = -2$; $-1 < m < 1$