Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ — количество деталей, которые делает первый рабочий за один час (его производительность). Тогда, согласно условию, второй рабочий делает на 9 деталей меньше, то есть его производительность равна $(x - 9)$ деталей в час.

Заказ для обоих рабочих составляет 216 деталей. Вспомним формулу времени: $t = \frac{A}{v}$, где $A$ — работа (количество деталей), а $v$ — производительность.

1) Время, затраченное первым рабочим на выполнение заказа: $t_1 = \frac{216}{x}$ часов.
2) Время, затраченное вторым рабочим на выполнение заказа: $t_2 = \frac{216}{x - 9}$ часов.

По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 4 часа быстрее, чем второй. Это значит, что время второго рабочего больше времени первого на 4 часа. Составим уравнение:
$\frac{216}{x - 9} - \frac{216}{x} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения вычислений:
$\frac{54}{x - 9} - \frac{54}{x} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 9)$:
$\frac{54x - 54(x - 9)}{x(x - 9)} = 1$
$\frac{54x - 54x + 486}{x^2 - 9x} = 1$
$\frac{486}{x^2 - 9x} = 1$

Перейдем к квадратному уравнению (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 9$):
$x^2 - 9x = 486$
$x^2 - 9x - 486 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-486) = 81 + 1944 = 2025$
$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{9 + 45}{2} = \frac{54}{2} = 27$
$x_2 = \frac{9 - 45}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как производительность труда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первого рабочего составляет 27 деталей в час.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ