Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала преобразуем выражение, задающее функцию, и определим область её определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Упростим выражение в числителе, вынеся $x$ за скобки:
$y = \frac{x(x + 1) \cdot |x|}{x + 1}$.
Так как $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x + 1)$. Получим:
$y = x \cdot |x|$ при $x \neq -1$.

Раскроем модуль по определению:
1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x \cdot x = x^{2}$.
2) Если $x < 0$ (с учётом $x \neq -1$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^{2}$.

Таким образом, график функции состоит из двух частей:
— ветвь параболы $y = x^{2}$ при $x \geq 0$;
— ветвь параболы $y = -x^{2}$ при $x < 0$, причём точка с абсциссой $x = -1$ должна быть исключена («выколота»).
Найдём ординату «выколотой» точки: подставим $x = -1$ в уравнение $y = -x^{2}$:
$y(-1) = -(-1)^{2} = -1$.
Значит, точка с координатами $(-1; -1)$ не принадлежит графику.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.
Посмотрев на построенный график (комбинация двух ветвей парабол), мы видим, что функция принимает все значения, кроме того, которое соответствует «выколотой» точке.
Единственный разрыв в значениях функции происходит в точке $(-1; -1)$. Следовательно, прямая $y = m$ не будет пересекать график только тогда, когда она проходит через эту «выколотую» точку.

Это происходит при $m = -1$.

Ответ: -1

Источник: ФИПИ