Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 3|x + 2| - x^2 - 3x - 2$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x + 2$ меняет знак в точке $x = -2$.

Шаг 1. Раскрытие модуля.
1) Если $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x + 2| = x + 2$.
Функция принимает вид:
$y = 3(x + 2) - x^2 - 3x - 2 = 3x + 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 + 4$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 4)$. Нас интересует только та часть графика, где $x \ge -2$.

2) Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$.
Функция принимает вид:
$y = 3(-x - 2) - x^2 - 3x - 2 = -3x - 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 - 6x - 8$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём координаты её вершины:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3$.
$y_0 = -(-3)^2 - 6(-3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$.
Вершина второй параболы находится в точке $(-3; 1)$.

Шаг 2. Построение графика.
График состоит из двух частей парабол, которые стыкуются в точке $x = -2$.
Проверим значение в точке стыка:
Для первой части: $y(-2) = -(-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$.
Для второй части: $y(-2) = -(-2)^2 - 6(-2) - 8 = -4 + 12 - 8 = 0$.
Точка стыка — $(-2; 0)$.

Шаг 3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Количество общих точек с графиком зависит от значения $m$:
— При $m < 0$ прямая пересекает две ветви парабол (2 точки).
— При $m = 0$ прямая проходит через точку стыка $(-2; 0)$ и пересекает две внешние ветви (3 точки).
— При $0 < m < 1$ прямая пересекает график в 4 точках.
— При $m = 1$ прямая проходит через вершину левой параболы $(-3; 1)$ и пересекает правую часть в двух точках (всего 3 точки).
— При $1 < m < 4$ прямая пересекает только правую параболу в 2 точках.
— При $m = 4$ прямая касается вершины правой параболы $(0; 4)$ (1 точка).
— При $m > 4$ общих точек нет.

Таким образом, ровно три общие точки график имеет при $m = 0$ и $m = 1$.

Ответ: 0; 1.

Источник: ФИПИ