Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x < 2$ функция имеет вид $y = x - 3$. Это линейная функция, графиком является прямая.
Для построения возьмём две точки:
Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
Если $x = 2$, то $y = 2 - 3 = -1$. Точка $(2; -1)$ будет «выколотой» для этой части графика, так как неравенство строгое, но она является граничной.

2) На промежутке $x \geq 2$ функция имеет вид $y = x^2 - 6x + 6$. Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$.
Вершина параболы — точка $(3; -3)$.
Найдём значение функции на границе участка:
При $x = 2$: $y = 2^2 - 6 \cdot 2 + 6 = 4 - 12 + 6 = -2$. Точка $(2; -2)$.
Возьмём дополнительную точку для точности:
При $x = 4$: $y = 4^2 - 6 \cdot 4 + 6 = 16 - 24 + 6 = -2$. Точка $(4; -2)$.

3) Построим график. Он состоит из луча прямой, идущего из бесконечности до точки $(2; -1)$ (не включая её), и части параболы, начинающейся в точке $(2; -2)$ и уходящей вправо вверх через вершину $(3; -3)$.

4) Определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки:
— Если $m < -3$, прямая пересекает только левый луч (1 точка).
— Если $m = -3$, прямая проходит через вершину параболы и пересекает левый луч (2 точки). Это значение нам подходит.
— Если $-3 < m < -2$, прямая пересекает левый луч и параболу в двух местах (всего 3 точки).
— Если $m = -2$, прямая проходит через «начало» параболы $(2; -2)$, пересекает правую ветвь параболы и левый луч (всего 3 точки).
— Если $-2 < m < -1$, прямая пересекает левый луч и правую ветвь параболы (2 точки). Это интервал значений нам подходит.
— Если $m = -1$, прямая проходит через «пустую» точку $(2; -1)$ левого луча (пересечения там нет) и пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).
— Если $m > -1$, прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).

Таким образом, ровно две точки пересечения наблюдаются при $m = -3$ и в интервале $-2 < m < -1$.

Ответ: -3; (-2; -1)

Источник: ФИПИ