Задание №22 — Функции

#47696Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}x^{2} - 6 x + 6 \\ x - 3\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при }\end{matrix} & \begin{matrix}x \geq 2, \\ x < 2.\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x < 2$ функция имеет вид $y = x - 3$ . Это линейная функция, графиком является прямая.
Для построения возьмём две точки:
Если $x = 0$ , то $y = 0 - 3 = -3$ . Точка $(0; -3)$ .
Если $x = 2$ , то $y = 2 - 3 = -1$ . Точка $(2; -1)$ будет «выколотой» для этой части графика, так как неравенство строгое, но она является граничной.

2) На промежутке $x \geq 2$ функция имеет вид $y = x^2 - 6x + 6$ . Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$ .
$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$ .
Вершина параболы — точка $(3; -3)$ .
Найдём значение функции на границе участка:
При $x = 2$ : $y = 2^2 - 6 \cdot 2 + 6 = 4 - 12 + 6 = -2$ . Точка $(2; -2)$ .
Возьмём дополнительную точку для точности:
При $x = 4$ : $y = 4^2 - 6 \cdot 4 + 6 = 16 - 24 + 6 = -2$ . Точка $(4; -2)$ .

3) Построим график. Он состоит из луча прямой, идущего из бесконечности до точки $(2; -1)$ (не включая её), и части параболы, начинающейся в точке $(2; -2)$ и уходящей вправо вверх через вершину $(3; -3)$ .

4) Определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки:
— Если $m < -3$ , прямая пересекает только левый луч (1 точка).
— Если $m = -3$ , прямая проходит через вершину параболы и пересекает левый луч (2 точки). Это значение нам подходит.
— Если $-3 < m < -2$ , прямая пересекает левый луч и параболу в двух местах (всего 3 точки).
— Если $m = -2$ , прямая проходит через «начало» параболы $(2; -2)$ , пересекает правую ветвь параболы и левый луч (всего 3 точки).
— Если $-2 < m < -1$ , прямая пересекает левый луч и правую ветвь параболы (2 точки). Это интервал значений нам подходит.
— Если $m = -1$ , прямая проходит через «пустую» точку $(2; -1)$ левого луча (пересечения там нет) и пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).
— Если $m > -1$ , прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).

Таким образом, ровно две точки пересечения наблюдаются при $m = -3$ и в интервале $-2 < m < -1$ .

Ответ: -3; (-2; -1)

Источник: ФИПИ