Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде (собственная скорость лодки). По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $x + 4$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $x - 4$ км/ч.

Лодка прошла $192$ км в каждом направлении. Выразим время, затраченное на каждый путь:
— Время на путь против течения: $t_1 = \frac{192}{x - 4}$ ч.
— Время на путь по течению: $t_2 = \frac{192}{x + 4}$ ч.

По условию задачи на обратный путь (по течению) лодка затратила на $4$ часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
$\frac{192}{x - 4} - \frac{192}{x + 4} = 4$

Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{48}{x - 4} - \frac{48}{x + 4} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 4)(x + 4)$:
$\frac{48(x + 4) - 48(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 1$
$\frac{48x + 192 - 48x + 192}{x^2 - 16} = 1$
$\frac{384}{x^2 - 16} = 1$

Отсюда получаем уравнение:
$x^2 - 16 = 384$
$x^2 = 384 + 16$
$x^2 = 400$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 20$ и $x_2 = -20$.
Так как скорость лодки не может быть отрицательной, нам подходит только значение $x = 20$.

Проверим условие $x > 4$, чтобы скорость против течения была положительной. $20 > 4$, условие выполняется.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ