Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим таблицу, где $v$ — скорость наполнения (литров в минуту), $V$ — объём резервуара (литров), $t$ — время наполнения (минуты). Мы знаем, что $t = \frac{V}{v}$.

Пусть $x$ литров в минуту пропускает вторая труба. Тогда, по условию задачи, первая труба пропускает на 13 литров в минуту меньше, то есть $(x - 13)$ литров в минуту. При этом $x > 13$, так как скорость наполнения не может быть отрицательной или нулевой.

Заполним данные для обеих труб при объёме резервуара $208$ литров:
1) Время работы второй трубы: $t_2 = \frac{208}{x}$ минут.
2) Время работы первой трубы: $t_1 = \frac{208}{x - 13}$ минут.

По условию вторая труба заполняет резервуар на 8 минут быстрее, чем первая. Это значит, что разница между временем первой и второй трубы равна 8 минутам. Составим уравнение:
$\frac{208}{x - 13} - \frac{208}{x} = 8$

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы упростить вычисления:
$\frac{26}{x - 13} - \frac{26}{x} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 13)$:
$\frac{26x - 26(x - 13)}{x(x - 13)} = 1$
$\frac{26x - 26x + 338}{x^2 - 13x} = 1$
$\frac{338}{x^2 - 13x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению:
$x^2 - 13x = 338$
$x^2 - 13x - 338 = 0$

Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-338) = 169 + 1352 = 1521$
Заметим, что $\sqrt{1521} = 39$.

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{13 + 39}{2} = \frac{52}{2} = 26$
$x_2 = \frac{13 - 39}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Так как скорость пропускания воды трубой должна быть положительной величиной, корень $x_2 = -13$ не подходит по смыслу задачи. Значит, вторая труба пропускает 26 литров воды в минуту.

Ответ: 26

Источник: ФИПИ