Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данная задача относится к задачам на работу, где роль работы выполняет объём резервуара, а роль производительности — скорость наполнения трубы (литры в минуту).

Шаг 1. Введение переменной.
Пусть $x$ литров в минуту — скорость, с которой пропускает воду вторая труба (её производительность).
Так как первая труба пропускает на 3 литра в минуту меньше, то её производительность равна $x - 3$ литров в минуту.

Шаг 2. Составление таблицы данных.
Для каждой трубы мы знаем объём резервуара ($V = 260$ литров) и можем выразить время наполнения по формуле $t = \frac{V}{P}$, где $P$ — производительность.
Время работы второй трубы: $t_2 = \frac{260}{x}$ минут.
Время работы первой трубы: $t_1 = \frac{260}{x - 3}$ минут.

Шаг 3. Составление уравнения.
По условию задачи вторая труба заполняет резервуар на 6 минут быстрее, чем первая. Это значит, что время первой трубы больше времени второй трубы на 6 минут. Составим уравнение:
$\frac{260}{x - 3} - \frac{260}{x} = 6$

Шаг 4. Решение уравнения.
Приведём дроби к общему знаменателю $x(x - 3)$:
$\frac{260x - 260(x - 3)}{x(x - 3)} = 6$
$\frac{260x - 260x + 780}{x^2 - 3x} = 6$
$\frac{780}{x^2 - 3x} = 6$
Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения расчётов:
$\frac{130}{x^2 - 3x} = 1$
Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 3x = 130$
$x^2 - 3x - 130 = 0$

Шаг 5. Нахождение корней.
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529$
$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{3 + 23}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$x_2 = \frac{3 - 23}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Шаг 6. Анализ результата.
Так как производительность трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, вторая труба пропускает 13 литров воды в минуту.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ