Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру неравенства. Мы видим дробь, которая должна быть больше или равна нулю. Числитель дроби равен $-10$. Так как $-10 < 0$, то для того, чтобы вся дробь была неотрицательной ($\geq 0$), знаменатель должен быть строго меньше нуля.

Важно: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому исходное неравенство равносильно условию: $(x-3)^2 - 5 < 0$.

2. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$: $(x-3)^2 - (\sqrt{5})^2 < 0$ $(x - 3 - \sqrt{5})(x - 3 + \sqrt{5}) < 0$.

3. Найдём корни уравнения $(x - 3 - \sqrt{5})(x - 3 + \sqrt{5}) = 0$: $x_1 = 3 + \sqrt{5}$ $x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

4. Применим метод интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое. Эти точки разбивают прямую на три интервала: — На интервале $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$ выражение положительно. — На интервале $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$ выражение отрицательно. — На интервале $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$ выражение положительно.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу между корнями: $3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$.

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ