Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знака дроби.
Мы видим дробь, в числителе которой стоит отрицательное число $-10$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю (положительна или равна нулю), знаменатель этой дроби должен быть отрицательным.
Важно: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому мы переходим к строгому неравенству для знаменателя: $(x-3)^2 - 5 < 0$.

Шаг 2. Решение полученного неравенства.
Разложим выражение в левой части на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$: $(x-3)^2 - (\sqrt{5})^2 < 0$
$(x - 3 - \sqrt{5})(x - 3 + \sqrt{5}) < 0$

Шаг 3. Нахождение корней и метод интервалов.
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти критические точки:
1) $x - 3 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{5}$
2) $x - 3 + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{5}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$, $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$ и $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$.
Так как перед нами квадратичная функция с положительным коэффициентом при $x^2$ (парабола ветвями вверх), знаки на интервалах будут распределяться так: «плюс», «минус», «плюс».

Шаг 4. Выбор нужного интервала.
Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля ($< 0$), поэтому выбираем средний интервал, где стоит знак «минус».
Следовательно, $3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$.

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ