Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 4|x + 2| - x^2 - 3x - 2$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x + 2$ меняет знак в точке $x = -2$.

1. Рассмотрим случай $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$:
В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 4(x + 2) - x^2 - 3x - 2$
$y = 4x + 8 - x^2 - 3x - 2$
$y = -x^2 + x + 6$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = 0,5$
$y_0 = -(0,5)^2 + 0,5 + 6 = -0,25 + 0,5 + 6 = 6,25$
Вершина: $(0,5; 6,25)$.
При $x = -2$ значение функции: $y = -(-2)^2 + (-2) + 6 = -4 - 2 + 6 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$:
В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Подставим в уравнение:
$y = 4(-x - 2) - x^2 - 3x - 2$
$y = -4x - 8 - x^2 - 3x - 2$
$y = -x^2 - 7x - 10$
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -3,5$
$y_0 = -(-3,5)^2 - 7 \cdot (-3,5) - 10 = -12,25 + 24,5 - 10 = 2,25$
Вершина: $(-3,5; 2,25)$.
При $x = -2$ значение функции: $y = -(-2)^2 - 7 \cdot (-2) - 10 = -4 + 14 - 10 = 0$.

3. Построение и анализ:
График состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(-2; 0)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Она имеет с графиком ровно три общие точки в двух случаях:
1) Когда прямая проходит через вершину "левой" параболы. Это происходит при $m = 2,25$. В этой точке прямая касается левой части графика (1 точка) и пересекает правую часть в двух точках. Итого 3 точки.
2) Когда прямая проходит через точку "склейки" парабол на оси $Ox$. Это происходит при $m = 0$. В этой точке прямая касается (проходит через общий корень) графика и пересекает обе ветви парабол в других местах. Проверим: при $y = 0$ для первой параболы корни $x = -2$ и $x = 3$, для второй — $x = -2$ и $x = -5$. Точки пересечения: $(-5; 0)$, $(-2; 0)$ и $(3; 0)$. Итого ровно 3 точки.

При $m = 6,25$ будет только одна общая точка (вершина правой параболы). При $0 < m < 2,25$ будет 4 точки. При $m < 0$ будет 2 точки.

Ответ: 0; 2,25

Источник: ФИПИ