Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-14}{(x-2)^2 - 2} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знака дроби.
Дробь больше или равна нулю, когда её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).
Заметим, что числитель дроби равен $-14$. Это отрицательное число ($-14 < 0$).
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель обязан быть отрицательным.
Важно: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x-2)^2 - 2 < 0$

Шаг 2. Решение полученного неравенства.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим число $2$ как $(\sqrt{2})^2$:
$(x-2)^2 - (\sqrt{2})^2 < 0$
$(x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2}) < 0$

Шаг 3. Метод интервалов.
Найдём корни уравнения $(x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2}) = 0$:
1) $x - 2 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_1 = 2 + \sqrt{2}$
2) $x - 2 + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_2 = 2 - \sqrt{2}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала:
$(-\infty; 2 - \sqrt{2})$, $(2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2})$ и $(2 + \sqrt{2}; +\infty)$.
Так как перед $x^2$ стоит положительный коэффициент, ветви соответствующей параболы направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения на внутреннем интервале между корнями.

Таким образом, решением является интервал: $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$.

Ответ: $(2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ