Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-14}{(x-3)^2 - 2} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знака дроби.
Дробь $\frac{A}{B}$ больше или равна нулю, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (при этом знаменатель не равен нулю).
В нашем случае числитель равен $-14$. Это отрицательное число ($-14 < 0$).
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю ($\geq 0$), знаменатель обязан быть отрицательным. Равенство нулю невозможно, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x-3)^2 - 2 < 0$

Шаг 2. Решение полученного неравенства.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $2 = (\sqrt{2})^2$:
$(x-3)^2 - (\sqrt{2})^2 < 0$
$(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2}) < 0$

Шаг 3. Метод интервалов.
Найдём корни уравнения $(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2}) = 0$:
1) $x - 3 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{2}$
2) $x - 3 + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{2}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 3-\sqrt{2})$, $(3-\sqrt{2}; 3+\sqrt{2})$ и $(3+\sqrt{2}; +\infty)$.
Так как перед $x^2$ стоит положительный коэффициент, ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решением является интервал: $3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}$.

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ