Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.
Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,25x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{0,25x(x - 2) \cdot |x|}{x - 2}$.
Так как $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:
$y = 0,25x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
— Если $x \geq 0$ (и учитывая $x \neq 2$), то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 0,25x^2$.
— Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = -0,25x^2$.

4. Построение графика.
График состоит из двух частей парабол:
— При $x \in [0; 2) \cup (2; +\infty)$ это ветвь параболы $y = 0,25x^2$, направленная вверх.
— При $x < 0$ это ветвь параболы $y = -0,25x^2$, направленная вниз.
Важно отметить «выколотую» точку. При $x = 2$ значение функции было бы равно $y = 0,25 \cdot 2^2 = 0,25 \cdot 4 = 1$. Значит, точка $(2; 1)$ не принадлежит графику.

5. Поиск значений $m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
— Если она проходит через «выколотую» точку графика. Координата $y$ этой точки равна $1$, следовательно, $m = 1$.
— Если график функции имеет разрывы или ограничения по области значений, которые не покрываются прямой. Однако наши параболы непрерывно уходят в $+\infty$ и $-\infty$, за исключением одной точки.

Таким образом, единственное значение $m$, при котором прямая $y = m$ не пересекает график — это ордината выколотой точки.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ