Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

2. Упростим выражение функции. Вынесем общий множитель $0,75x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{0,75x(x - 3) \cdot |x|}{x - 3}$.
Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:
$y = 0,75x \cdot |x|$.

3. Раскроем модуль по определению:
— Если $x \geq 0$ (и учитывая $x \neq 3$), то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Построим график. Он состоит из двух частей парабол с «выколотой» точкой.
Найдём координаты «выколотой» точки. При $x = 3$ значение функции было бы:
$y = 0,75 \cdot 3^2 = 0,75 \cdot 9 = 6,75$.
Значит, точка $(3; 6,75)$ не принадлежит графику.

5. Определим значения $m$, при которых прямая $y = m$ (горизонтальная линия) не имеет с графиком общих точек:
— Прямая не будет иметь общих точек, если она проходит через «выколотую» точку графика. Это происходит при $m = 6,75$.
— В остальном график функции $y = 0,75x \cdot |x|$ непрерывен и принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, кроме значения в выколотой точке.

Таким образом, единственное значение $m$, при котором нет пересечений — это ордината выколотой точки.

Ответ: 6,75

Источник: ФИПИ