Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знаков.
Дробь $\frac{a}{b}$ больше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (и знаменатель не равен нулю).
В нашем случае числитель равен $-10$. Это отрицательное число ($-10 < 0$).
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель обязан быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Шаг 2. Переход к неравенству для знаменателя.
Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

Шаг 3. Решение полученного неравенства.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$

Шаг 4. Нахождение корней и метод интервалов.
Приравняем множители к нулю, чтобы найти критические точки:
1) $x - 3 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{5}$
2) $x - 3 + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{5}$

Нанесём эти точки на числовую прямую. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 3-\sqrt{5})$, $(3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$ и $(3+\sqrt{5}; +\infty)$.
Так как перед нами квадратичная функция с ветвями параболы, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), выражение $(x-3)^2 - 5$ принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решением является интервал: $3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$.

Ответ: $(3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$

Источник: ФИПИ