Задание №22 — Функции

#47714Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}x^{2} + 4 x - 1 \\ x\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при }\end{matrix} & \begin{matrix}x \geq - 4, \\ x < - 4.\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1. Построение первой части графика: $y = x^2 + 4x - 1$ при $x \geq -4$ .
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$ .
$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$ .
Вершина находится в точке $(-2; -5)$ .
Вычислим значения функции на границе и в нескольких дополнительных точках:
При $x = -4$ : $y = (-4)^2 + 4 \cdot (-4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1$ . Точка $(-4; -1)$ .
При $x = 0$ : $y = -1$ . Точка $(0; -1)$ .
При $x = 1$ : $y = 1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = 4$ . Точка $(1; 4)$ .

2. Построение второй части графика: $y = x$ при $x < -4$ .
Это луч, выходящий из точки $(-4; -4)$ (точка не включена, так как строгое неравенство) и идущий влево вниз. Однако, так как в первой части при $x = -4$ значение равно $-1$ , в этой точке на графике будет «скачок» (разрыв).

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$ .
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$ , при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.
Проследим за изменением $m$ снизу вверх:
— При $m < -5$ : прямая проходит ниже вершины параболы и ниже луча. Пересечений с параболой нет, есть 1 пересечение с лучом $y = x$ . Итого: 1 точка.
— При $m = -5$ : прямая проходит через вершину параболы $(-2; -5)$ и пересекает луч $y = x$ . Итого: 2 точки. Это значение нам подходит.
— При $-5 < m < -4$ : прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Итого: 3 точки.
— При $m = -4$ : прямая проходит через «пустую» точку луча $(-4; -4)$ и пересекает параболу в двух точках. Итого: 2 точки. Это значение нам подходит.
— При $-4 < m < -1$ : прямая пересекает только параболу в двух точках (луч закончился ниже). Итого: 2 точки. Эти значения нам подходят.
— При $m = -1$ : прямая проходит через точку $(-4; -1)$ и точку $(0; -1)$ на параболе. Итого: 2 точки. Это значение нам подходит.
— При $m > -1$ : прямая пересекает только правую ветвь параболы. Итого: 1 точка.

4. Объединение результатов.
Мы получили, что две точки пересечения будут при $m = -5$ и в промежутке от $-4$ до $-1$ включительно: $m \in [-4; -1]$ .

Ответ: $m = -5$ ; $-4 \leq m \leq -1$ .

Источник: ФИПИ