Построение графика функции · 157 заданий
- Задание №22№22Сложное
Постройте график функции {l y = x² + 6 x + 7; x + 10 & при; при & x ⩾ - 4; x < - 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = x² + 14 x - 3 | x + 8 | + 48 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Сложное
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 6 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x - 3 | - x² + 8 x - 15. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Лёгкое
Постройте график функции y = x | x | + 2 | x | - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x + 6 | - x² - 11 x - 30. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 2 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x + 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Сложное
Постройте график функции {l y = - x² + 8 x - 17; - x - 2 & при; при & x ⩾ 2; x < 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = x² - 9 x - 2 | x - 4 | + 20 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Лёгкое
Постройте график функции y = ((0,5 x² + x) · | x |)/(x + 2). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Функции и графики
Постройте график функции
{y=x2+4x−1x при при x≥−4,x<−4.
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение
Решение.
Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.
1. Построение первой части графика: y=x2+4x−1 при x≥−4.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x2 положителен).
Найдем координаты вершины параболы:
x0=−2ab=−2⋅14=−2.
y0=(−2)2+4⋅(−2)−1=4−8−1=−5.
Вершина находится в точке (−2;−5).
Вычислим значения функции на границе и в нескольких дополнительных точках:
При x=−4: y=(−4)2+4⋅(−4)−1=16−16−1=−1. Точка (−4;−1).
При x=0: y=−1. Точка (0;−1).
При x=1: y=12+4⋅1−1=4. Точка (1;4).
2. Построение второй части графика: y=x при x<−4.
Это луч, выходящий из точки (−4;−4) (точка не включена, так как строгое неравенство) и идущий влево вниз. Однако, так как в первой части при x=−4 значение равно −1, в этой точке на графике будет «скачок» (разрыв).
3. Анализ количества общих точек с прямой y=m.
Прямая y=m — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения m, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.
Проследим за изменением m снизу вверх:
— При m<−5: прямая проходит ниже вершины параболы и ниже луча. Пересечений с параболой нет, есть 1 пересечение с лучом y=x. Итого: 1 точка.
— При m=−5: прямая проходит через вершину параболы (−2;−5) и пересекает луч y=x. Итого: 2 точки. Это значение нам подходит.
— При −5<m<−4: прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Итого: 3 точки.
— При m=−4: прямая проходит через «пустую» точку луча (−4;−4) и пересекает параболу в двух точках. Итого: 2 точки. Это значение нам подходит.
— При −4<m<−1: прямая пересекает только параболу в двух точках (луч закончился ниже). Итого: 2 точки. Эти значения нам подходят.
— При m=−1: прямая проходит через точку (−4;−1) и точку (0;−1) на параболе. Итого: 2 точки. Это значение нам подходит.
— При m>−1: прямая пересекает только правую ветвь параболы. Итого: 1 точка.
4. Объединение результатов.
Мы получили, что две точки пересечения будут при m=−5 и в промежутке от −4 до −1 включительно: m∈[−4;−1].
Ответ: m=−5; −4≤m≤−1.
Источник: ФИПИ