Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим таблицу и введём переменную. Пусть $x$ — количество деталей, которые делает первый рабочий за один час (его производительность). Тогда производительность второго рабочего будет равна $x - 10$ деталей в час, так как по условию первый делает на 10 деталей больше.

1. Составим выражения для времени работы:
Объём заказа для каждого рабочего составляет 60 деталей. Время работы находится по формуле: $t = \frac{A}{v}$, где $A$ — работа, $v$ — производительность.
Время первого рабочего: $t_1 = \frac{60}{x}$ часов.
Время второго рабочего: $t_2 = \frac{60}{x - 10}$ часов.

2. Составим уравнение:
По условию первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее второго. Это значит, что время второго рабочего больше времени первого на 3 часа:
$\frac{60}{x - 10} - \frac{60}{x} = 3$

3. Решим полученное уравнение:
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{20}{x - 10} - \frac{20}{x} = 1$
Приведём дроби к общему знаменателю $x(x - 10)$:
$\frac{20x - 20(x - 10)}{x(x - 10)} = 1$
$\frac{20x - 20x + 200}{x^2 - 10x} = 1$
$\frac{200}{x^2 - 10x} = 1$
Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 10x = 200$
$x^2 - 10x - 200 = 0$

4. Найдем корни уравнения:
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$
$\sqrt{D} = 30$
$x_1 = \frac{10 + 30}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{10 - 30}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

5. Анализ результатов:
Так как производительность труда не может быть отрицательной, корень $x = -10$ не подходит по смыслу задачи. Значит, первый рабочий делает 20 деталей в час.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ