Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде (собственная скорость). По условию задачи скорость течения реки равна $3$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $x + 3$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $x - 3$ км/ч.

Лодка прошла $72$ км в одну сторону и $72$ км в другую. Составим выражения для времени, затраченного на каждый участок пути:

1) Время движения против течения: $t_1 = \frac{72}{x - 3}$ ч.
2) Время движения по течению: $t_2 = \frac{72}{x + 3}$ ч.

По условию задачи на обратный путь (по течению) лодка затратила на $2$ часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
$\frac{72}{x - 3} - \frac{72}{x + 3} = 2$

Разделим обе части уравнения на $2$ для упрощения вычислений:
$\frac{36}{x - 3} - \frac{36}{x + 3} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:
$\frac{36(x + 3) - 36(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 1$
$\frac{36x + 108 - 36x + 108}{x^2 - 9} = 1$
$\frac{216}{x^2 - 9} = 1$

Отсюда следует:
$x^2 - 9 = 216$
$x^2 = 225$
$x_1 = 15$, $x_2 = -15$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной величиной, корень $x = -15$ не подходит по смыслу задачи. Значит, собственная скорость лодки равна $15$ км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ