Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит число $-10$, которое всегда отрицательно ($-10 < 0$).

2. Чтобы дробь была больше или равна нулю, её числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки (либо оба положительные, либо оба отрицательные). Так как числитель отрицателен, то для того, чтобы вся дробь была неотрицательной, знаменатель обязан быть строго меньше нуля.
Важно: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

3. Переходим к решению неравенства для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

4. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$

5. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$

6. Решим полученное квадратичное неравенство методом интервалов.
На числовой прямой отметим точки $3 - \sqrt{5}$ и $3 + \sqrt{5}$. Эти точки разбивают прямую на три интервала.
Графиком функции $f(x) = (x-3)^2 - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

7. Таким образом, решением неравенства является интервал:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ