Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x|x| + 2|x| - 5x$ необходимо раскрыть модули, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Раскрытие модуля:
Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot x + 2 \cdot x - 5x = x^2 - 3x$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1,5$;
$y_0 = (1,5)^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$.
Вершина: $(1,5; -2,25)$. Точки пересечения с осью $Ox$: $x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x = 3$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot (-x) + 2 \cdot (-x) - 5x = -x^2 - 2x - 5x = -x^2 - 7x$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -3,5$;
$y_0 = -(-3,5)^2 - 7 \cdot (-3,5) = -12,25 + 24,5 = 12,25$.
Вершина: $(-3,5; 12,25)$. Точки пересечения с осью $Ox$: $-x(x + 7) = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x = -7$.

2. Построение графика:
График состоит из двух частей парабол, которые «склеиваются» в точке $(0; 0)$.
Левее оси $Oy$ (при $x < 0$) мы рисуем часть параболы $y = -x^2 - 7x$ с вершиной в точке $(-3,5; 12,25)$.
Правее оси $Oy$ (при $x \ge 0$) мы рисуем часть параболы $y = x^2 - 3x$ с вершиной в точке $(1,5; -2,25)$.

3. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.
Анализируя график, видим:
— При $m > 12,25$ прямая пересекает график в одной точке (правая ветвь параболы $y = x^2 - 3x$).
— При $m = 12,25$ прямая проходит через вершину левой параболы. Точек пересечения две: сама вершина $(-3,5; 12,25)$ и точка на правой ветви второй параболы. Это подходит.
— При $-2,25 < m < 12,25$ прямая пересекает график в трёх точках.
— При $m = -2,25$ прямая проходит через вершину правой параболы. Точек пересечения две: сама вершина $(1,5; -2,25)$ и точка на левой ветви первой параболы. Это подходит.
— При $m < -2,25$ прямая пересекает график в одной точке (левая ветвь параболы $y = -x^2 - 7x$).

Таким образом, ровно две общие точки будут при $m = 12,25$ и $m = -2,25$.

Ответ: -2,25; 12,25

Источник: ФИПИ