Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-14}{(x-3)^2 - 2} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру неравенства. Мы видим дробь, которая должна быть больше или равна нулю. Числитель дроби равен $-14$. Это отрицательное число ($-14 < 0$).

2. Чтобы дробь была неотрицательной ($\geq 0$) при отрицательном числителе, её знаменатель обязан быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 2 < 0$.

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $2 = (\sqrt{2})^2$:
$(x-3)^2 - (\sqrt{2})^2 < 0$
$(x-3 - \sqrt{2})(x-3 + \sqrt{2}) < 0$.

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{2})(x-3 + \sqrt{2}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$
$x_2 = 3 - \sqrt{2}$.

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое.
Графиком функции $f(x) = (x-3)^2 - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

6. Таким образом, решением неравенства является интервал:
$3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}$.

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ