Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ литров в минуту — скорость наполнения (производительность) второй трубы. Тогда, по условию задачи, первая труба пропускает на 16 литров в минуту меньше, то есть её производительность равна $x - 16$ литров в минуту.

Объём резервуара составляет 105 литров. Вспомним формулу времени: $t = \frac{V}{v}$, где $V$ — объём, а $v$ — скорость наполнения.

1) Время, за которое вторая труба заполнит резервуар: $t_2 = \frac{105}{x}$ минут.
2) Время, за которое первая труба заполнит резервуар: $t_1 = \frac{105}{x - 16}$ минут.

По условию вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем первая. Это значит, что разница между временем первой и второй трубы равна 4 минутам. Составим уравнение:
$\frac{105}{x - 16} - \frac{105}{x} = 4$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x - 16)$, учитывая, что $x > 16$ (так как производительность не может быть отрицательной или нулевой):
$\frac{105x - 105(x - 16)}{x(x - 16)} = 4$
$\frac{105x - 105x + 1680}{x^2 - 16x} = 4$
$\frac{1680}{x^2 - 16x} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения вычислений:
$\frac{420}{x^2 - 16x} = 1$
$x^2 - 16x = 420$
$x^2 - 16x - 420 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936$
$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{16 + 44}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{16 - 44}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Так как производительность трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, вторая труба пропускает 30 литров воды в минуту.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ