Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} - 7x - 5|x - 3| + 12$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Раскрытие модуля:
Выражение $x - 3$ меняет знак в точке $x = 3$.
Случай 1: $x \ge 3$. Тогда $|x - 3| = x - 3$.
$y = x^{2} - 7x - 5(x - 3) + 12 = x^{2} - 7x - 5x + 15 + 12 = x^{2} - 12x + 27$.
Случай 2: $x < 3$. Тогда $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$.
$y = x^{2} - 7x - 5(3 - x) + 12 = x^{2} - 7x - 15 + 5x + 12 = x^{2} - 2x - 3$.

Таким образом, функция задаётся кусочно:
$y = \begin{cases} x^{2} - 12x + 27, \text{ если } x \ge 3 \\ x^{2} - 2x - 3, \text{ если } x < 3 \end{cases}$

2. Исследование частей графика:
Обе части представляют собой параболы, ветви которых направлены вверх.
Для первой параболы $y = x^{2} - 12x + 27$ (при $x \ge 3$):
Вершина: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{12}{2} = 6$.
Значение в вершине: $y_0 = 6^{2} - 12 \cdot 6 + 27 = 36 - 72 + 27 = -9$.
Точка стыка при $x = 3$: $y(3) = 3^{2} - 12 \cdot 3 + 27 = 9 - 36 + 27 = 0$.

Для второй параболы $y = x^{2} - 2x - 3$ (при $x < 3$):
Вершина: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$.
Значение в вершине: $y_0 = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Точка стыка при $x = 3$: $y(3) = 3^{2} - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Количество общих точек с графиком зависит от значения $m$:
- При $m < -9$ точек нет.
- При $m = -9$ одна точка (вершина первой параболы).
- При $-9 < m < -4$ две точки.
- При $m = -4$ ровно три точки (вершина второй параболы и две точки на ветвях первой).
- При $-4 < m < 0$ четыре точки.
- При $m = 0$ ровно три точки (точка стыка парабол и по одной точке на внешних ветвях).
- При $m > 0$ две точки.

Следовательно, ровно три общие точки график имеет при $m = -4$ и $m = 0$.

Ответ: -4; 0

Источник: ФИПИ