Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана двумя выражениями на разных промежутках. Построим график каждой части отдельно.

1) Рассмотрим первую часть функции: $y = -x^2 - 4x - 1$ при $x \geq -3$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$.
$y_0 = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3$.
Вершина находится в точке $(-2; 3)$.
Вычислим значение функции на границе участка: при $x = -3$, $y = -(-3)^2 - 4 \cdot (-3) - 1 = -9 + 12 - 1 = 2$.
Дополнительные точки: при $x = -1$, $y = 2$; при $x = 0$, $y = -1$.

2) Рассмотрим вторую часть функции: $y = -x - 3$ при $x < -3$.
Это прямая. Вычислим значение в граничной точке (хотя она не включена в этот промежуток, она покажет, где график «стыкуется»):
При $x = -3$, $y = -(-3) - 3 = 0$.
Возьмем еще одну точку: при $x = -4$, $y = -(-4) - 3 = 1$.
Заметим, что в точке $x = -3$ происходит разрыв: парабола начинается в точке $(-3; 2)$, а прямая заканчивается в «пустой» точке $(-3; 0)$.

3) Построим график. Он состоит из луча прямой, идущего из бесконечности до точки $(-3; 0)$ (не включая её), и части параболы, начинающейся в точке $(-3; 2)$, проходящей через вершину $(-2; 3)$ и уходящей вниз вправо.

4) Определим количество общих точек с прямой $y = m$. Это горизонтальная прямая.
– При $m < 0$: прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).
– При $m = 0$: прямая проходит через «пустую» точку прямой $y = -x - 3$ и пересекает параболу в одной точке (1 точка).
– При $0 < m < 2$: прямая пересекает луч прямой и правую ветвь параболы (2 точки).
– При $m = 2$: прямая пересекает луч прямой, левый край параболы $(-3; 2)$ и правую ветвь параболы (3 точки).
– При $2 < m < 3$: прямая пересекает луч прямой и параболу в двух местах (всего 3 точки).
– При $m = 3$: прямая пересекает луч прямой и вершину параболы (2 точки).
– При $m > 3$: прямая пересекает только луч прямой (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки график имеет при $0 < m < 2$ и при $m = 3$.

Ответ: (0; 2), 3

Источник: ФИПИ