Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ — количество деталей, которые делает первый рабочий за один час (его производительность). Тогда, по условию задачи, второй рабочий делает на 5 деталей меньше, то есть его производительность равна $(x - 5)$ деталей в час.

Заказ для обоих рабочих составляет 200 деталей. Вспомним формулу времени: $t = \frac{A}{v}$, где $A$ — работа (количество деталей), а $v$ — производительность.

1) Время, затраченное первым рабочим на выполнение заказа: $t_1 = \frac{200}{x}$ часов.
2) Время, затраченное вторым рабочим на выполнение заказа: $t_2 = \frac{200}{x - 5}$ часов.

По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 2 часа быстрее, чем второй. Это значит, что время второго рабочего больше времени первого на 2 часа. Составим уравнение:
$\frac{200}{x - 5} - \frac{200}{x} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения вычислений:
$\frac{100}{x - 5} - \frac{100}{x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 5)$:
$\frac{100x - 100(x - 5)}{x(x - 5)} = 1$
$\frac{100x - 100x + 500}{x^2 - 5x} = 1$
$\frac{500}{x^2 - 5x} = 1$

Перейдем к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 5$):
$x^2 - 5x = 500$
$x^2 - 5x - 500 = 0$

Найдем дискриминант уравнения:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025$
$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

Вычислим корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 + 45}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{5 - 45}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность рабочего не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первого рабочего составляет 25 деталей в час.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ