Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для того чтобы построить график функции $y = x|x| + |x| - 5x$, необходимо раскрыть модули. Напомним, что $|x| = x$, если $x \geq 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$.

Рассмотрим два случая:

1) Если $x \geq 0$, то функция принимает вид:
$y = x \cdot x + x - 5x$
$y = x^2 - 4x$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Подставим в уравнение: $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Вершина в точке $(2; -4)$. Точки пересечения с осью $Ox$: $x(x - 4) = 0$, то есть $x = 0$ и $x = 4$.

2) Если $x < 0$, то функция принимает вид:
$y = x \cdot (-x) + (-x) - 5x$
$y = -x^2 - 6x$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдём координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$. Подставим в уравнение: $y_0 = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9 + 18 = 9$. Вершина в точке $(-3; 9)$. Точки пересечения с осью $Ox$: $-x(x + 6) = 0$, то есть $x = 0$ и $x = -6$.

График состоит из двух частей парабол, которые «склеиваются» в точке $(0; 0)$. Левая часть (при $x < 0$) имеет вершину в точке $(-3; 9)$, правая часть (при $x \geq 0$) имеет вершину в точке $(2; -4)$.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает график ровно в двух точках. Посмотрим на характерные уровни графика:
— При $m > 9$ прямая пересекает только левую ветвь параболы (1 точка).
— При $m = 9$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую ветвь (всего 2 точки).
— При $-4 < m < 9$ прямая пересекает график в трёх точках.
— При $m = -4$ прямая проходит через вершину правой параболы и пересекает левую ветвь (всего 2 точки).
— При $m < -4$ прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки будут при $m = 9$ и $m = -4$.

Ответ: -4; 9

Источник: ФИПИ