Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки (где $x > 0$). Тогда скорость теплохода по течению реки равна $24 + x$ км/ч, а скорость теплохода против течения реки равна $24 - x$ км/ч.

1. Найдём общее время, которое теплоход находился непосредственно в движении. По условию задачи, всё путешествие заняло 14 часов, из которых 8 часов составила стоянка. Следовательно, время в пути равно:
$14 - 8 = 6$ (часов).

2. Составим выражение для времени движения. Расстояние в одну сторону составляет 70 км.
Время движения по течению: $\frac{70}{24 + x}$ часов.
Время движения против течения: $\frac{70}{24 - x}$ часов.
Суммарное время движения равно 6 часам. Составим уравнение:
$\frac{70}{24 + x} + \frac{70}{24 - x} = 6$

3. Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения расчётов:
$\frac{35}{24 + x} + \frac{35}{24 - x} = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю $(24 + x)(24 - x)$:
$\frac{35(24 - x) + 35(24 + x)}{(24 + x)(24 - x)} = 3$
$\frac{35 \cdot 24 - 35x + 35 \cdot 24 + 35x}{576 - x^2} = 3$
$\frac{2 \cdot 35 \cdot 24}{576 - x^2} = 3$
$\frac{1680}{576 - x^2} = 3$

4. Воспользуемся основным свойством пропорции:
$3(576 - x^2) = 1680$
Разделим обе части на 3:
$576 - x^2 = 560$
$x^2 = 576 - 560$
$x^2 = 16$

5. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Так как скорость течения реки должна быть положительной величиной, нам подходит только $x = 4$.

Проверка: скорость по течению $24 + 4 = 28$ км/ч, время $70 / 28 = 2,5$ ч. Скорость против течения $24 - 4 = 20$ км/ч, время $70 / 20 = 3,5$ ч. Итого $2,5 + 3,5 = 6$ часов, что соответствует условию.

Ответ: 4 км/ч.

Источник: ФИПИ