Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 2|x - 5| - x^{2} + 11x - 30$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x - 5$ меняет знак в точке $x = 5$.

1. Рассмотрим случай $x \ge 5$:
В этом случае $|x - 5| = x - 5$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 2(x - 5) - x^{2} + 11x - 30$
$y = 2x - 10 - x^{2} + 11x - 30$
$y = -x^{2} + 13x - 40$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{13}{2 \cdot (-1)} = 6,5$
$y_{0} = -(6,5)^{2} + 13 \cdot 6,5 - 40 = -42,25 + 84,5 - 40 = 2,25$
Вершина параболы — точка $(6,5; 2,25)$. При $x = 5$ значение $y = -25 + 65 - 40 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x < 5$:
В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Подставим в уравнение:
$y = 2(5 - x) - x^{2} + 11x - 30$
$y = 10 - 2x - x^{2} + 11x - 30$
$y = -x^{2} + 9x - 20$
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем её вершину:
$x_{0} = -\frac{9}{2 \cdot (-1)} = 4,5$
$y_{0} = -(4,5)^{2} + 9 \cdot 4,5 - 20 = -20,25 + 40,5 - 20 = 0,25$
Вершина параболы — точка $(4,5; 0,25)$. При $x = 5$ значение $y = -25 + 45 - 20 = 0$.

3. Анализ графика и поиск значений $m$:
График состоит из двух частей парабол, которые "склеиваются" в точке $(5; 0)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает график ровно в трех точках.
Посмотрим на характерные уровни по оси $y$:
- При $m < 0$ прямая пересекает график в двух точках (ветви уходят в минус бесконечность).
- При $m = 0$ прямая проходит через точку "склейки" $(5; 0)$ и пересекает две другие ветви. Итого — 3 точки.
- При $0 < m < 0,25$ прямая пересекает график в четырех точках.
- При $m = 0,25$ прямая касается вершины левой параболы и пересекает правую параболу в двух точках. Итого — 3 точки.
- При $0,25 < m < 2,25$ прямая пересекает только правую параболу в двух точках.
- При $m = 2,25$ прямая касается вершины правой параболы. Итого — 1 точка.
- При $m > 2,25$ общих точек нет.

Таким образом, ровно три общие точки наблюдаются при $m = 0$ и $m = 0,25$.

Ответ: 0; 0,25

Источник: ФИПИ