Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города В в город А (именно её нам нужно найти). Тогда, так как на обратном пути он увеличил скорость на 9 км/ч по сравнению с путём «туда», скорость на пути из А в В была на 9 км/ч меньше, то есть $(x - 9)$ км/ч.

1. Найдём время, затраченное на путь из А в В. Расстояние равно 112 км, скорость — $(x - 9)$ км/ч. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t_1 = \frac{112}{x - 9}$ (ч).

2. Найдём время, проведённое непосредственно в движении на обратном пути из В в А. Расстояние то же — 112 км, скорость — $x$ км/ч:
$t_{движ} = \frac{112}{x}$ (ч).

3. По условию задачи на обратном пути велосипедист сделал остановку на 4 часа, и общее время в пути (движение + остановка) оказалось равно времени $t_1$. Составим уравнение:
$\frac{112}{x} + 4 = \frac{112}{x - 9}$

4. Решим полученное уравнение. Перенесём все слагаемые в одну сторону и приведём к общему знаменателю $x(x - 9)$:
$\frac{112}{x - 9} - \frac{112}{x} - 4 = 0$
$\frac{112x - 112(x - 9) - 4x(x - 9)}{x(x - 9)} = 0$
$\frac{112x - 112x + 1008 - 4x^2 + 36x}{x(x - 9)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю ($x \neq 0$ и $x \neq 9$):
$-4x^2 + 36x + 1008 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-4$, чтобы упростить вычисления:
$x^2 - 9x - 252 = 0$

5. Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$
$x_1 = \frac{9 + 33}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$x_2 = \frac{9 - 33}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

6. Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x = -12$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость велосипедиста на пути из В в А равна 21 км/ч. Проверим условие: скорость из А в В была $21 - 9 = 12$ км/ч. Время «туда» $112 / 12 = 28/3 = 9\frac{1}{3}$ ч. Время «обратно» $112 / 21 + 4 = 16/3 + 4 = 5\frac{1}{3} + 4 = 9\frac{1}{3}$ ч. Значения совпали.

Ответ: 21 км/ч

Источник: ФИПИ