Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Точка с абсциссой $x = 2$ будет «выколотой» на графике.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель в числителе:
$y = \frac{0,75x(x - 2) \cdot |x|}{x - 2}$.
При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:
$y = 0,75x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$ (и $x \neq 2$), то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = 0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Нахождение координат «выколотой» точки.
Так как $x \neq 2$, подставим $x = 2$ в упрощенное выражение для первой ветви:
$y = 0,75 \cdot 2^2 = 0,75 \cdot 4 = 3$.
Значит, точка с координатами $(2; 3)$ не принадлежит графику.

5. Построение графика.
График состоит из части параболы $y = 0,75x^2$ при $x \geq 0$ (с выколотой точкой $(2; 3)$) и части параболы $y = -0,75x^2$ при $x < 0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

6. Определение значений $m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если прямая проходит через «выколотую» точку. Это происходит при $m = 3$.
2) Если прямая проходит через область, где график не существует. Однако, учитывая вид получившихся парабол, график функции $y = 0,75x \cdot |x|$ (без учета выколотой точки) принимает любые значения от $-\infty$ до $+\infty$. Единственный разрыв — в точке $x = 2$.
Таким образом, единственное значение $m$, при котором нет общих точек — это ордината выколотой точки.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ