Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки (где $x > 0$). Тогда скорость теплохода по течению реки равна $19 + x$ км/ч, а скорость теплохода против течения реки равна $19 - x$ км/ч.

1. Составим выражение для времени движения.
Расстояние в одну сторону составляет 176 км.
Время, затраченное на путь по течению: $\frac{176}{19 + x}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения: $\frac{176}{19 - x}$ ч.

2. Учтём общее время в пути.
Теплоход отсутствовал в пункте отправления 20 часов, из которых 1 час он стоял. Значит, чистое время в движении составляет:
$20 - 1 = 19$ ч.

3. Составим уравнение:
$\frac{176}{19 + x} + \frac{176}{19 - x} = 19$

4. Решим полученное уравнение. Приведём дроби к общему знаменателю $(19 + x)(19 - x)$:
$\frac{176(19 - x) + 176(19 + x)}{(19 + x)(19 - x)} = 19$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{176 \cdot 19 - 176x + 176 \cdot 19 + 176x}{361 - x^2} = 19$
$\frac{2 \cdot 176 \cdot 19}{361 - x^2} = 19$

Разделим обе части уравнения на 19 (так как $19 \neq 0$):
$\frac{2 \cdot 176}{361 - x^2} = 1$
$352 = 361 - x^2$
$x^2 = 361 - 352$
$x^2 = 9$

5. Найдём корни уравнения:
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Так как скорость течения реки должна быть положительной величиной, нам подходит только $x = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ