Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x|x| + |x| - 6x$ необходимо раскрыть модули, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Раскрытие модулей:
Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot x + x - 6x = x^2 - 5x$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Найдём ординату вершины: $y_0 = (2,5)^2 - 5 \cdot 2,5 = 6,25 - 12,5 = -6,25$.
Точки для построения на промежутке $[0; +\infty)$: $(0; 0)$, $(1; -4)$, $(2,5; -6,25)$, $(5; 0)$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot (-x) + (-x) - 6x = -x^2 - 7x$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -3,5$.
Найдём ординату вершины: $y_0 = -(-3,5)^2 - 7 \cdot (-3,5) = -12,25 + 24,5 = 12,25$.
Точки для построения на промежутке $(-\infty; 0)$: $(-7; 0)$, $(-3,5; 12,25)$, $(-1; 6)$, $(0; 0)$.

2. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Количество общих точек с графиком функции зависит от значения $m$:
— При $m > 12,25$ прямая имеет 1 общую точку (с правой ветвью параболы).
— При $m = 12,25$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую ветвь. Итого 2 точки.
— При $-6,25 < m < 12,25$ прямая пересекает график в 3 точках.
— При $m = -6,25$ прямая проходит через вершину правой параболы и пересекает левую ветвь. Итого 2 точки.
— При $m < -6,25$ прямая имеет 1 общую точку (с левой ветвью параболы).

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $m = 12,25$ и $m = -6,25$.

Ответ: -6,25; 12,25

Источник: ФИПИ