Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала упростим выражение, задающее функцию, и определим её область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

1. Преобразуем числитель: вынесем общий множитель $0,5x$ за скобки:
$y = \frac{0,5x(x + 1) \cdot |x|}{x + 1}$.
При условии $x \neq -1$ мы можем сократить дробь на $(x + 1)$. Получим:
$y = 0,5x \cdot |x|$.

2. Теперь раскроем модуль по определению:
— Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$ (и $x \neq -1$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

3. Найдём координаты "выколотой" точки. Так как $x \neq -1$, подставим это значение в упрощённое выражение для отрицательных $x$:
$y(-1) = -0,5 \cdot (-1)^2 = -0,5 \cdot 1 = -0,5$.
Значит, точка с координатами $(-1; -0,5)$ будет отсутствовать на графике.

4. Построим график. Он состоит из части параболы $y = 0,5x^2$ при $x \geq 0$ и части параболы $y = -0,5x^2$ при $x < 0$, за исключением точки $(-1; -0,5)$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

5. Определим значения $m$, при которых прямая $y = m$ (горизонтальная линия) не имеет с графиком общих точек:
— Прямая $y = m$ не будет иметь общих точек с графиком только в том случае, если она проходит через "выколотую" точку.
— Координата $y$ выколотой точки равна $-0,5$. Следовательно, при $m = -0,5$ прямая $y = -0,5$ не пересекает график функции.

Других разрывов или ограничений по оси $y$ у данной функции нет, так как ветви парабол уходят в бесконечность вверх и вниз.

Ответ: -0,5

Источник: ФИПИ