Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} + 13x - 3|x + 7| + 42$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x + 7$ меняет знак в точке $x = -7$.

1. Рассмотрим случай $x \ge -7$:
В этом случае $|x + 7| = x + 7$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x^{2} + 13x - 3(x + 7) + 42$
$y = x^{2} + 13x - 3x - 21 + 42$
$y = x^{2} + 10x + 21$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5$
$y_{0} = (-5)^{2} + 10 \cdot (-5) + 21 = 25 - 50 + 21 = -4$
Вершина параболы: $(-5; -4)$.
Значение функции в граничной точке: $y(-7) = (-7)^{2} + 10 \cdot (-7) + 21 = 49 - 70 + 21 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x < -7$:
В этом случае $|x + 7| = -(x + 7) = -x - 7$. Подставим в уравнение:
$y = x^{2} + 13x - 3(-x - 7) + 42$
$y = x^{2} + 13x + 3x + 21 + 42$
$y = x^{2} + 16x + 63$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2 \cdot 1} = -8$
$y_{0} = (-8)^{2} + 16 \cdot (-8) + 63 = 64 - 128 + 63 = -1$
Вершина параболы: $(-8; -1)$.
Значение функции в граничной точке: $y(-7) = (-7)^{2} + 16 \cdot (-7) + 63 = 49 - 112 + 63 = 0$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Чтобы она имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через характерные точки графика (вершины или точки «склейки»).
Посмотрим на значения $y$ в вершинах и точке стыка:
- Левая вершина (при $x < -7$) находится в точке $(-8; -1)$.
- Точка стыка двух частей графика — $(-7; 0)$.
- Правая вершина (при $x \ge -7$) находится в точке $(-5; -4)$.

При движении прямой $y = m$ снизу вверх:
- При $m = -4$ прямая касается правой параболы (1 точка).
- При $-4 < m < -1$ прямая пересекает правую параболу в двух точках (2 точки).
- При $m = -1$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую параболу в двух точках. Итого: $1 + 2 = 3$ точки.
- При $-1 < m < 0$ прямая пересекает левую параболу в двух точках и правую в двух точках (4 точки).
- При $m = 0$ прямая проходит через точку стыка $(-7; 0)$ и пересекает каждую из парабол еще в одной точке. Итого: $1 + 1 + 1 = 3$ точки.
- При $m > 0$ прямая пересекает крайние ветви графика в двух точках (2 точки).

Таким образом, ровно три общие точки график и прямая имеют при $m = -1$ и $m = 0$.

Ответ: -1; 0

Источник: ФИПИ