Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим таблицу и введём переменную. Пусть $x$ — количество деталей, которые делает первый рабочий за один час (его производительность). Тогда, так как первый рабочий делает на 6 деталей в час больше, чем второй, производительность второго рабочего будет равна $x - 6$ деталей в час.

1) Заполним данные о работе:
- Заказ для обоих рабочих составляет $140$ деталей.
- Время работы первого рабочего: $t_1 = \frac{140}{x}$ часов.
- Время работы второго рабочего: $t_2 = \frac{140}{x - 6}$ часов.

2) По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй. Это значит, что время второго рабочего больше времени первого на 3 часа. Составим уравнение:
$\frac{140}{x - 6} - \frac{140}{x} = 3$

3) Решим полученное уравнение. Приведём дроби к общему знаменателю $x(x - 6)$:
$\frac{140x - 140(x - 6)}{x(x - 6)} = 3$
$\frac{140x - 140x + 840}{x^2 - 6x} = 3$
$\frac{840}{x^2 - 6x} = 3$

4) Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения расчётов:
$\frac{280}{x^2 - 6x} = 1$
$x^2 - 6x = 280$
$x^2 - 6x - 280 = 0$

5) Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант $D$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156$
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
$x_1 = \frac{6 + 34}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{6 - 34}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

6) Так как производительность труда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий делает 20 деталей в час.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ