Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть также отрицательным (так как «минус на минус дает плюс»).

2. Заметим, что дробь не может быть равна нулю, так как числитель $-10 \neq 0$. Следовательно, наше неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$.

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, представив число $5$ как $(\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$.

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала:
— На интервале $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$ выражение положительно.
— На интервале $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$ выражение отрицательно.
— На интервале $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$ выражение положительно.

6. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ